条件を絞って家族の年齢を求める

  • 2021.09.13

私は、祖母、父、母、兄、妹の6人家族です。家族は全員年齢が異なります。現在、私は12歳、祖母は60歳以上、父は40歳以上、兄は20歳未満で、兄の年齢は妹の年齢の2倍です。

2年前、兄、私、妹の年齢の平均は、祖母の年齢の6分の1でした。現在、祖母は何歳であると考えられますか。

2年後、兄、私、妹の年齢の和は、父と母の年齢の和の半分になります。母は父より4歳年上です。現在、父と母はそれぞれ何歳ですか。

雙葉中学(東京四ツ谷)

相当算や年齢算と呼ばれる数当てゲームは受験算数の定番ですが、出典でなんとなくわかるとおり一筋縄ではいかない難問です。

偏差値55-(高難度)

  • 割合(小学5年)

① 祖母の年齢を求める

2年前、兄、私、妹の年齢の平均は、祖母の年齢の6分の1でした。現在、祖母は何歳であると考えられますか。

まず読解と絞り込みをします。

  • 日本語の定義として、「私」の年齢が兄の年齢を上回ることはない。同様に妹の年齢を下回ることもない。
  • 私=12歳、兄=20歳未満。兄=妹×2。つまり兄は13~19歳、妹は7~11歳の間といえる。
  • 兄の年齢が奇数だと妹の年齢は整数で表せない。よって兄の年齢は14歳・16歳・18歳のいずれかで確定。
  • 上記によって妹の年齢は半分の7歳・8歳・9歳のいずれかで確定。

条件がわかったら表に書き出します。

書き出す年齢の組み合わせは、兄の年齢が「14・16・18のいずれか」で確定しているので3通りです。(以降はABCとします)

 
A 18 9 12
B 16 8 12
C 14 7 12

2年前の年齢を表に加える

推理に使う数字は「2年前」なので、先ほどの表を2年前の値にします。

平均を使って求めるので、それらの値を入れるマスもつくっておきます。

上段は現在、下段は2年前
  平均 祖母(平均×6)
A 18 9 12      
16 7 10      
B 16 8 12      
14 6 10      
C 14 7 12      
12 5 10      

設問の条件に従ってマスを埋める

「兄弟の平均は祖母の年齢の6分の1」は、「祖母の年齢は兄弟の平均の6倍」と言い換えられます。

上段は現在、下段は2年前
  平均 祖母(平均×6)
A 18 9 12 - - -
16 7 10 33 11 66
B 16 8 12 - - -
14 6 10 30 10 60
C 14 7 12 - - -
12 5 10 27 9 54

表にすると何を計算すればいいのかわかりやすいですね。

「3人の平均の6倍」→「3人の和の2倍」と置き換えられるともっと計算が速くできます。

条件に合わせて祖母の年齢を絞り込みむ。

先ほどの表で計算したものは「2年前」なので、現在に戻します。

  可能性A 可能性B 可能性C
祖母(2年前) 66 60 54
祖母(現在) 68 62 56

祖母の現在の年齢は「60歳以上」なので、条件に合うものは「62歳」と「68歳」の2つです。

(考えられる年齢は)62歳と68歳

② 父母の年齢を求める

2年後、兄、私、妹の年齢の和は、父と母の年齢の和の半分になります。母は父より4歳年上です。現在、父と母はそれぞれ何歳ですか。

小問1と同じように表に書き出しながら考えられる父母の年齢の和の候補を出します。

なお、小問1によって可能性Cや他の年齢の組み合わせはありません。

上段は現在、下段は2年後
  父母の和
A 18 9 12 - -
20 11 14 45 90
B 16 8 12 - -
18 10 14 42 84

父母の年齢の和は、90歳か84歳のいずれかです。

父母のそれぞれの年齢は?

「母は父より4歳年上」という条件があるので、次のような式でそれぞれの年齢が求められます。

  • 父母の和=父+父+4
  • 父母の和=(父×2)+4
  • 父=(父母の和 -4)÷2

上記計算で父母それぞれの年齢を計算し、現在の年齢に変換して条件に合うか確認します。

  可能性A 可能性B
父母の和(2年後) 90 84
父母年齢(2年後) 43 47 40 44
父母年齢(現在) 41 45 38 42

父は40歳以上なので、可能性Aの組み合わせが条件に合うようです。

父41歳、母45歳

この家族の年齢まとめ

祖母
68 41 45 18 12 9

受験塾で一般的な年齢算の計算方法

AとBの年齢の和が46で、5年後にAはBの3倍になる。現在ABはそれぞれ何歳ですか?

というのが年齢算の基本例題ですが、受験塾では次のようなやり方をします。

  • ABは46歳であり、その5年後なので、ABの和は、46+(5年後×2人)=56
  • AはBの3倍ということは、比であらわすと〔A:B=3:1〕
  • つまり「5年後」の年齢は、A42、B14
  • 「現在」の年齢はそれぞれ5を引けばいいので、A37、B9