線対称をつくって解く角度計算

角度計算難問
2020.07.20

解答時間のめやす

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見かけシンプルですが結構な難問だと思います

  • 対称・合同(小学6年生)

解法例

まずはわかっている角度を埋めてみます。

わかっている角度を埋める

うーん、これだけじゃ何ともなりませんねぇ・・・

つぎたす・入れ替える・まわす・反転する

情報が足りないなら自分でつくることを考えます。

図形の一部を「つぎたす・入れ替える・まわす・反転する」ことを問題用紙の上でシミュレートするために使うのが補助線です。

補助線を使わないと解けない問題が「難問」・・・だと思います。

移動する三角形を特定する

赤枠で囲った三角形をどうにかしてみます。

回転して移動

こんな感じで移動してみます。

このとき、移動した三角形の各辺の位置を忘れないようにしましょう。慣れていないうちは記号をつけたり色ペンでなぞるといいです。

動かしたら、ここに注目です。

移動してできた三角形に着目

一部頂点にABCDの記号をつけました。

線BCを底辺とする三角形の頂点Aの角度は、25°+20°=45°になっています。

すぐ右隣りに似たよーな角度がありますが、ここに気づけるかどうかがこの問題のひとつの要所です。

対称をみつける

三角形ABC(赤)と、三角形ACD(緑)の中間点、つまり線ACのラインをそのまま伸ばしてみると・・・

線対称

このふたつの三角形は線対称になっているようです。

合同と対称の軸

わかりやすくするために余計な線を消してみますと、やっぱり線対称ですね。

つまり・・・

三角形をまわして移動したら、線ACは対象の軸に化けた

・・・というわけですね。

となれば、このあたりの角度も埋められます。

合同なので角度を写す

ここまで埋まれば★の角度も出せますね。

解答

180°-70°-70°=40°

あとがき

合同を発見するためには図形を回転(移動)させる「発想」が必要であり、移動するモノを見つけだすには似たような問題を数多く解いた「経験」が必要になります。

通して解説すると簡単に感じますが、小学生の成長発達と人生経験でここに辿り着くのは決して簡単ではないと思います。

なのでこの問題は「かな~り難問」だと思います。

余談・・・

傾きを戻す

45°の頂点から底辺BCに向かって垂直の線を伸ばしていくと、この三角形は対角線から少し傾いていることがわかります。

頂点Aの「45°」を変えずに垂直線が対角線になるように傾きを修正すると・・・

  • 点Aの20°と25°の角度は、両方とも22.5°(±2.5°)
  • 追従して、点Bの70°は67.5°、点Cの65°も67.5°(±2.5°)
  • 1と2の結果、三角形ABCはA45°、BとCが67.5°の二等辺三角形になる

対角線が中心軸の二等辺三角形の裏側には45°三角定規がはめ込めます。(図中グレー塗り)

この状態から中心軸を傾けていけば「45°ー傾けた角度」で★印の角度が出せます。

つまり、この問題をつくる過程を再現するわけです。

では、何度傾ければいいのかというと・・・70°-65°=5°。これを傾きの方向に合わせて加減すると・・・

傾きの差分を戻す